Izvorni kôd stranice Riemannova zeta-funkcija

{{Nedostaju izvori}}
[[Datoteka:Complex_zeta.jpg|desno|mini|250px|Riemannova zeta-funkcija u [[kompleksna ravan|kompleksnoj ravni]]]]
[[Datoteka:zeta.png|mini|250px|Riemannova zeta-funkcija za realni ''s'' > 1]]
U [[matematika|matematici]], '''Riemannova zeta-funkcija''', nazvana po [[Bernhard Riemann|Bernhardu Riemannu]], je važna [[funkcija]] u [[teorija brojeva|teoriji brojeva]] zbog veze s teoremom o raspodjeli [[prosti brojevi|prostih brojeva]]. Također se primjenjuje u [[fizika|fizici]], [[teorija vjerovatnoće|teoriji vjerovanoće]], i primjenjenoj [[statistika|statistici]].

== Definicija ==

Funkcija ζ(''s'') je funkcija [[kompleksni broj|kompleksne]] varijable ''s'' i najprije se definirala slijedećom beskonačnom sumom:
:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
</math>

[[Leonhard Euler]] je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele [[prosti brojevi|prostih brojeva]]
:<math>
\begin{align}
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}
</math>

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(''s'') a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prostim brojevima ''p''.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

:<math>\zeta(0) = -1/2</math>

:<math>\zeta(1/2) \approx -1.4603545088095868</math>

:<math>\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty</math>; (harmonički niz)

:<math>\zeta(3/2) \approx 2.612</math>; koristi se za računanje kritične temperature [[Bose–Einsteinov kondenzat|Bose–Einsteinovog kondenzata]] u [[fizika|fizici]].

:<math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645</math>; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.

:<math>\zeta(5/2) \approx 1.341</math>

:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202 </math>; tzv. [[Apéryjeva konstanta]]

:<math>\zeta(7/2) \approx 1.127</math>

:<math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823</math>

Poznato je da zeta-funkcija ima nule -2, -4, -6... One se nazivaju ''trivijalnima''. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nule imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao ''Riemannova hipoteza'' i do sada nije riješena.

== Također pogledajte ==

* [[Prosti brojevi]]
* [[Leonhard Euler]]
* [[Bernhard Riemann]]

== Literatura ==

* [[Bernhard Riemann]], ''Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'' (1859). In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
* [[Jacques Hadamard]], ''Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Societé Mathématique de France '''14''' (1896) pp 199-220. 
* [[Helmut Hasse]], ''Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe'', (1930) Math. Z. '''32''' pp 458-464. ''(Globally convergent series expression.)'' 
* [[E. T. Whittaker]] and [[G. N. Watson]] (1927). ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

== Vanjski linkovi ==

* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld] - objašnjenje koje koristi matematički pristup (eng.)
* [http://dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables Tablica odabranih nula]
* [http://www.mybloop.com/dmlpat/maths/zeros_dml.gz](!! kliknite na tipku on Download Now...!!) Spis sadrži 1.000.000 nula
* [https://web.archive.org/web/20080721030342/http://seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php Prime Numbers Get Hitched] općenito o važnosti prostih brojeva, za nestručnu publiku (eng.)
{{Commonscat|Riemann zeta function}}

[[Kategorija:Zeta i L-funkcije]]