Izvorni kôd stranice Pravilo derivacije složene funkcije

{{Kalkulus}}
U [[kalkulus]]u, '''pravilo derivacije složene funkcije''' je [[formula]] za [[derivacija|derivaciju]] kompozicije dvije [[funkcija (matematika)|funkcije]]. 

U intuitivnim uvjetima, ako [[varijabla]] ''y'' zavisi od druge varijable ''u'', koja, na kraju, zavisi od treće varijable ''x'', tada se način [[promjena|promjene]] ''y'' o odnosu na ''x'' može [[računanje|izračunati]] kao promjena ''y'' o odnosu na ''u'' [[množenje|pomnoženo sa]] načinom promjene ''u'' u odnosu na ''x''. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte '''primjer I''').

== Definicija ==

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

:<math> (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,</math>

koje se kraće piše u formi <math> (f \circ g)' = f'\circ g\cdot g'</math>.

Alternativno, u [[Leibnizova notacija|Leibnizovoj notaciji]], pravilo derivacije složene funkcije je

:<math>\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}.</math>

U [[integral|integraciji]], nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji [[pravilo substitucije]].

== Dokaz pravila derivacije složene funkcije ==

Neka ''f'' i ''g'' budu funkcije i neka ''x'' bude broj takav da je ''f'' idiferencijabilna kod ''g(x)'' i da je ''g'' diferencijabilno kod ''x''. Tada je definicija diferencijabilnosti,

:<math> g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,</math>  

gdje ''&epsilon;''(''&delta;'') &rarr; 0 kada ''&delta;'' &rarr; 0. Slično,

:<math> f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \,</math> 

gdje ''&eta;''(''&alpha;'') &rarr; 0 kada ''&alpha;'' &rarr; 0. Također definišimo<ref>Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je ''g'' konstantna funkcija.</ref> da je

:<math> \eta(0) = 0 \,</math>

Sada je

:{|
|-
|<math> f(g(x+\delta))-f(g(x))\, </math>
|<math>= f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,</math>
|-
|
|<math> = \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,</math>
|}

gdje je

:<math>\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta. \,</math>

Uočite da kada ''&delta;'' &rarr; 0, ''&alpha;<sub>&delta;</sub>''/''&delta;'' &rarr; ''g''&prime;(''x'') i ''&alpha;<sub>&delta;</sub>'' &rarr; 0, te zbog toga ''&eta;''(''&alpha;<sub>&delta;</sub>'') &rarr; 0. Slijedi da je

:<math> \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x))\mbox{ as } \delta \to 0.</math>

== Primjeri ==

=== Primjer I ===

Razmotrimo <math>f(x) = (x^2 + 1)^3</math>. Imamo <math>f(x)=h(g(x))</math> gdje je <math>g(x) = x^2 + 1</math> i <math>h(x) = x^3.</math> Zbog toga,

:{|
|-
|<math>f '(x) \,</math>
|<math>= 3(x^2 + 1)^2(2x) \,</math>
|-
|
|<math>= 6x(x^2 + 1)^2. \,</math>
|}

Kako bi diferencirali [[trigonometrijske funkcije|trigonometrijsku]] funkciju
:<math>f(x) = \sin(x^2),\,</math>
možemo pisati <math>f(x) = h(g(x))</math> sa <math>h(x) = \sin x</math> i <math>g(x) = x^2</math>. Tada dobijamo
:<math>f'(x) = 2x \cos(x^2) \,</math>
pošto je <math>h'(g(x)) = \cos (x^2)</math> i <math>g'(x) = 2x</math>.

=== Primjer II ===

Difercencirajmo <math>\arctan\,\sin\, x</math>, itd.

:<math>\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}</math>

== Reference ==
{{reference}}

== Također pogledajte ==

* [[Pravilo inverzne derivacije složene funkcije]]
* [[Pravilo derivacije trostrukog proizvoda]]
* [[Derivacija]]
* [[Leibnizovo integraciono pravilo]]
* [[Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)]]

[[Kategorija:Pravila diferenciranja]]
[[Kategorija:Članci koji sadrže dokaz]]