Izvorni kôd stranice Potencijalni red

{{Nedostaju izvori}}
U [[matematika|matematici]], '''potencijalni red''' (ili '''stepeni red''') (jedne promjenljive) je [[red (matematika)|red]] oblika

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>
gdje ''a<sub>n</sub>'' predstavlja koeficijent ''n''-tog sabirka, ''C'' je konstanta, a ''x'' je a blizu ''c''. Ovi redovi se često javljaju u vidu [[Taylorov red|Taylorovih redova]] neke date [[funkcija (matematika)|funkcije]]; u članku o [[Taylorov red|Taylorovim redovima]] se mogu naći primjeri.
[[Datoteka:Exp series.gif|desno|mini|[[Eksponencijalna funkcija]] (plavo) i suma prvih ''n''+1 članova njenog [[Maclaurinov red|Maclaurinovog potencijalnog reda]] (crveno).]]
Jako često se uzima da je ''c'' jednako nuli, naprimjer, kada se razmatraju [[Maclaurinov red|Maclaurinovi redovi]].  
U ovim slučajevima, potencijalni red ima jednostavniji oblik
::<math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.
</math>
Ovakvi potencijalni redovi se javljaju uglavnom u analizi, ali također i u [[kombinatorika|kombinatorici]] (kao [[generatorna funkcija|generatorne funkcije]]) i u obradi signala.

== Primjeri ==

Svaki [[polinom]] se lahko može izraziti kao potencijalni red kod tačke ''c'', mada mu je većina koeficijenata jednaka nuli. Na primjer, polinom <math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> se može zapisati kao potencijalni red oko <math>c=0</math> oblika
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>
ili oko centra <math>c=1</math> kao
::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>
ili oko bilo kog drugog centra ''c''. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao ''polinomi beskonačnog reda'', mada oni nisu polinomi.

Formula [[geometrijski red|geometrijskog reda]]
::<math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,</math>
koja važi za <math>|x|<1</math>, je jedna od najvažnijih primjera potencijalnog reda, kao i formula eksponencijalne funkcije
::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>
i sinusna formula
::<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math>
koja važi za svako realno x.
Ovi potencijalni redovi su također i primjeri [[Taylorov red|Taylorovih redova]]. Međutim, postoje potencijalni redovi koji nisu Taylorovi redovi ni jedne funkcije, naprimjer
::<math>\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.</math>

Negativni potencijalni nisu dozvoljeni u potencijalnim redovima, naprimjer <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math>
se ne smatra potencijalnim redom (mada jeste [[Laurentov red]]). Slično, razlomljeni potencijalnovi, kao što je <math>x^{1/2}</math> nisu dozvoljeni (vidi [[Piseov red]]). Koeficijenti <math>a_n</math> ne smiju da zavise od <math>x</math>, stoga naprimjer:
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math> nije potencijalni red.

== Radijus konvergencije ==

Stepeni red sigurno konvergira za neke vrijednosti promjenljive ''x'' (barem za ''x'' = ''c'') a za ostale može da divergira. Uvek postoji broj ''r'', 0 &le; ''r'' &le; &infin; takav da red konvergira kad god je |''x'' &minus; ''c''| < ''r'' i divergira kad god |''x'' &minus; ''c''| > ''r''.  Broj ''r'' se naziva '''[[radijus konvergencije]]''' (ili stpen konvergencije) potencijalnog reda; u općem slučaju, radijus konvergencije je određen izrazom

:<math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
ili, ekvivalentno,

<math>r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}</math>
 
(pogledajte [[limes superior i limes inferior]]). Brz način da se izračuna je

:<math>r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|</math>

ako ovaj limes postoji.

Red [[apsolutna konvergencija|konvergira apsolutno]] za  |''x'' - ''c''| < ''r'' i [[uniformna konvergencija|uniformno]] na svakom neprekidnom [[podskup]]u {''x'' : |''x'' &minus; ''c''| < ''r''}.

Za  |''x'' - ''c''| = ''r'', se ne može u općem slučaju reći da li red konvergira ili divergira. Međutim, [[Abelov teorem]] kaže da je suma reda neprekidna na ''x'' ako red konvergira na ''x''.

== Operacije sa potencijalnim redovima ==

=== Sabiranje i oduzimanje ===

Kada se dvije funkcije, ''f'' i ''g'' dekomponuju u potencijalni red oko istog centra ''c'', potencijalni red zbira ili razlike funkcija se može naći sabiranjem ili oduzimanjem član po član. To jest, ako:
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n</math>
:<math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n</math>
onda
:<math>f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n</math>

=== Množenje i dijeljenje ===

Uz iste definicije kao i gore, potencijalni red proizvoda ili količnika funkcija se može dobiti na slijedeći način:

:<math> f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)</math>

:<math> = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}</math>

:<math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.</math>

Niz <math>m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> je poznat kao [[konvolucija]] nizova <math>a_n</math>
i <math>b_n</math>.

Primijetimo, za dijeljenje:

:<math> {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n</math>

:<math> f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)</math>

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređujući koeficijente.

=== Diferenciranje i integracija ===

Ako je funkcija data kao stepeeni red, ona je [[neprekidna funkcija|neprekidna]] gdje god konvergira, i diferencijabilna je na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo jednostavno, član po član:

::<math>
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}
</math>

::<math>
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + C
</math>

Oba ova reda imaju isti radijus konvergencije kao i početni.

== Analitičke funkcije ==

Funkcija ''f'' definisana na nekom [[otvoren skup|otvorenom podskupu]] ''U'' od '''R''' ili '''C''' se naziva '''analitičkom''' ako je lokalno zadata potencijalnim redom. Ovo znači da svako ''a'' &isin; ''U'' ima otvorenu [[okolina (topologija)|okolinu]] ''V'' &sube; ''U'', takvu da postoji potencijalni red sa centrom ''a'' koji konvergira funkciji ''f''(''x'') za svako ''x'' &isin; ''V''.

Svaki potencijalni red sa pozitivnim radijusom konvergencije je analitički na [[topološka unutrašnjost|unutrašnjosti]] svoje oblasti konvergencije. Sve [[holomorfna funkcija|holomorfne funkcije]] su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkcija su analitičke, kao i količnici, sve dok nazivnik nije nula.

== Formalni potencijalni redovi ==

U [[apstraktna algebra|apstraktnoj algebri]], pokušava se da se izvuče suština potencijalnih redova, bez ograničavanja na [[polje (matematika)|polja]] realnih i kompleksnih brojeva i bez potrebe da se govori o konvergenciji. Ovo dovodi do koncepta [[formalni potencijalni red|formalnog potencijalnog reda]]. Ovaj koncept je od velikog značaja u [[kombinatorika|kombinatorici]].

== Potencijalni redovi više Promjenljivih ==

Stepeni redovi više Promjenljivih su definisani na slijedeći način

::<math>
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},
</math>

gdje je promjenljiva ''j'' = (''j''<sub>1</sub>, ..., ''j''<sub>''n''</sub>) vektor prirodnih brojeva, koeficijenti  ''a''<sub>(''j<sub>1</sub>,...,j<sub>n</sub>'')</sub> su obično realni ili kompleksni brojevi, a centar  ''c'' = (''c''<sub>1</sub>, ..., ''c''<sub>''n''</sub>) i argument  ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) su obično realni ili kompleksni vektori. Jednostavnija oznaka je

::<math>
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.
</math>

== Vanjski linkovi ==
* [http://mathworld.wolfram.com/FormalPowerSeries.html Formalni potencijalni redovi na stranici ''MathWorld'']
* [http://mathworld.wolfram.com/PowerSeries.html Stepeni redovi na stranici ''MathWorld'']

[[Kategorija:Matematička analiza]]
[[Kategorija:Matematički redovi]]