Izvorni kôd stranice Eksponencijalna funkcija

{{Nedostaju izvori}}
'''Eksponencijalna funkcija''' je [[funkcija (matematika)|funkcija]] u [[matematika|matematici]]. Primjena ove funkcije na vrijednost '''''x''''' se zapisuje kao '''''e<sup>x</sup>''''', gdje je '''''[[e (broj)|e]]''''' matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom [[Leonhard Euler|Euler]]ov broj. Često, ovo se može napisati u obliku '''exp(''x'')'''.
[[Datoteka:exp.svg|mini|200px|desno|The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of ''x'', climbs quickly for positive values of ''x'', and equals 1 when ''x'' is equal to 0. Its ''y'' value always equals the [[slope]] at that point.]]

Ako funkcija od ''[[realan broj|realne]]'' varijable ''x'', [[grafik funkcije|grafik]] od ''y'' = ''e''<sup>''x''</sup> je uvijek pozitivan (iznad ''x'' ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje ''x'' osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je ''x'' osa horizontalna [[asimptota]] grafika). Njena [[inverzna funkcija]], [[prirodni logaritam]], ln(''x''), je definisan za sve pozitivne ''x''. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je '''[[logaritam#Eksponencijalne funkcije|antilogaritam]]'''. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u [[nauka]]ma, termin '''eksponencijalna funkcija''' se općenito koristi za funkcije oblika ''cb''<sup>''x''</sup>, gdje je ''b'', predstavljajući ''bazu'', bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti ''e''. Pogledajte članak [[eksponencijalni rast]] za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, [[varijabla]] ''x'' može biti bilo koji realan ili [[kompleksan broj]], ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte [[#Formalna definicija|formalnu definiciju ispod]].

== Formalna definicija ==

{{glavni|Karakterizacije eksponencijalne funkcije}}
[[Datoteka:Exp series.gif|desno|mini|Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh ''n''+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno).]] 

Eksponencijalna funkcija e<sup>''x''</sup> može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao [[red (matematika)|beskonačan red]]. Tačnije, može se definisati pomoću [[potencijalni red|potencijalnog reda]]:

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>.

Uočite da ova definicija ima oblik [[Taylorov red|Taylorovog reda]]. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u [[Taylorov red]].

Rjeđe, ''e''<sup>''x''</sup> je definisano kao rješenje ''y'' jednačine

: <math>x = \int_{1}^y {dt \over t}.</math>

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

: <math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.</math>

== Neprekidni razlomci za ''e''<sup>''x''</sup> ==

Preko Eulerovog identiteta:

:<math>\,
\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots=
1+\cfrac{x}{1-\cfrac{x}{x+2-\cfrac{2x}{x+3-\cfrac{3x}{x+4-\cfrac{4x}{x+5-\cfrac{5x}{\ddots}}}}}}
</math>

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

:<math>\,
\ e^{2m/n}=1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{9n+\cfrac{m^2}{\ddots}}}}}}\,
</math>

Ako stavimo da je ''m'' = ''x'' i ''n'' = 2, dobijamo

:<math>\,
\ e^x=1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{18+\cfrac{x^2}{\ddots}}}}}}\,
</math>

<span class="plainlinks"></span>

==Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravni==

Eksponencijalna funkcija može se definisati i u [[kompleksna ravna|kompleksnoj ravni]] na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

: <math>\,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!} </math>

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

:<math>{d \over dz} e^z = e^z</math> 

vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:

: <math>\,\!\, e^{z + w} = e^z e^w</math>
: <math>\,\!\, e^0 = 1</math>
: <math>\,\!\, e^z \ne 0</math>
: <math>\,\!\, {d \over dz} e^z = e^z</math>

za sve kompleksne brojeve ''z'' i ''w''. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda <math>2 \pi i</math>, jer vrijedi

: <math>\,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)</math>

i

: <math>\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.</math>

gdje su ''a'' i ''b'' realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s [[trigonometrijske funkcije|trigonometrijskim funkcijama]] i dalje s [[hiperbolička funkcija|hiperboličkim funkcijama]]. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika ''a''<sup>''b''</sup>, gdje su i ''a'' i ''b'' [[kompleksan broj|kompleksne veličine]].

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(''z''), gdje možemo definisati općenitije da je

: <math>\,\!\, z^w = e^{w \ln z}</math>

za sve kompleksne brojeve ''z'' i ''w''. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

: <math>\,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right)</math>

== Izračunavanje e<sup>z</sup> za kompleksan ''z'' ==

Ovo slijedi direktno iz formule

: <math>\,e^{x + yi} = e^xe^{yi} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)) = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y).</math>

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

== Također pogledajte ==

*[[e (broj)]]
*[[Karakterizacije eksponencijalne funkcije]]
*[[Tetracija]]
*[[Eksponencijalni rast]]
*[[Eksponencijacija]]
*[[Spisak integrala eksponencijalnih funkcija]]
*[[Spisak tema o eksponencijalima]]

== Reference ==
{{refspisak}}

== Vanjski linkovi ==

* {{MathWorld | urlnaziv= ExponentialFunction | naslov= Exponential Function}}
* [https://web.archive.org/web/20070210173459/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexFunExponentialMod.html Complex Exponential Function Module by John H. Mathews]
* [http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponential.cfm Taylor Series Expansions of Exponential Functions] at [http://www.efunda.com efunda.com] 
* [http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.html Complex exponential interactive graphic]
{{Commonscat|Exponential function}}

[[Kategorija:Elementarne posebne funkcije]]
[[Kategorija:Kompleksna analiza]]
[[Kategorija:Eksponencijali]]
[[Kategorija:Posebne hipergeometrijske funkcije]]