Izvorni kôd stranice D'Alambertov test

{{Nedostaju izvori}}
U [[matematika|matematici]], '''D'Alambertov test''' je [[testovi konvergencije|test]] (ili "kriterij") [[konvergentni redovi|konvergencije]] [[red (matematika)|redova]]

:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>

čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio [[Jean le Rond d'Alembert]]. Test koristi broj

:<math>L = \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>

gdje "lim sup" označava [[limes superior i limes inferior|limes superior]] kada ''n'' teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno

:<math>L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>

u slačuaju gdje [[limes (matematika)|limes]] postoji.

D'Alambertov test kaže:

* ako je ''L'' < 1 tada red [[apsolutna konvergencija|konvergira apsolutno]], te
* ako je ''L'' > 1 tada red [[divergentni redovi|divergira]].

Ako je ''L'' = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).

== Primjeri ==

=== Konvergira ===

Neka je dat red:

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}</math>

Ako primjenimo D'Alambertov test:

:<math>\begin{align}
   \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}                  {a_n}                   \right|
&= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}      {\frac{n}{e^n}}         \right|\\
&= \frac{1}{e} < 1.
\end{align}</math>

Red konvergira jer je <math>\frac{1}{e}</math> manje od 1.

=== Divergira ===

Neka je dat red:

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}.</math>

Ako primjenimo D'Alambertov test:

:<math>\begin{align}
   \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}                  {a_n}                   \right|
&= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}      {\frac{e^n}{n}}         \right|\\
&= e > 1.
\end{align}</math>

Red divergira jer je <math>\frac{1}{e}</math> veće od 1.

=== Neodlučno ===

ako je limes općeg člana reda

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1</math>

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira. 

Na primjer, red
:<math>\sum_{n=1}^\infty 1</math>

divergira, ali 

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.</math>

Međutim, red

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} </math>

konvergira apsolutno, ali je

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.</math>

Konačno, 

:<math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n} </math>

konvergira uslovno, ali

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.</math>

== L=1 i Raabeov test ==

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1</math>.

Proširenje D'Alambertovog testa, prema [[švicarska|švicaracskom]] [[matematika|matematičaru]] [[Joseph Ludwig Raabe|Josephu Raabeu]], omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1</math>

i ako je

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}
\,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)<-1</math>

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema [[Augustus De Morgan|Augustusu De Morganu]].

== Također pogledajte ==

* [[Cauchyjev korjeni test]]
* [[Radijus konvergencije]]

== Reference ==

* Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
* Rudin, Walter, ''Principles of Mathematical Analysis'', third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
* Whittaker, E. T., and Watson, G. N., ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3

[[Kategorija:Matematički redovi]]
[[Kategorija:Testovi konvergencije]]

[[it:Criteri di convergenza#Criterio del rapporto (o di d'Alembert)]]